有限元作業
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- 有限元作業目 錄
一、理論部分………………………………………………1
二、上機練習………………………………………………3
三、隨堂測驗………………………………………………18
一、理論部分（30分，第1題10分，第2題20分）
1.什么是有限單元法，為什么要學習有限元，怎樣學好有限元？請結合本門課程的學習談談你的體會。（10分）
答：有限單元法，是一種有效解決數學問題的解題方法。其基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。
有限元對于機械零件的力學分析，零件的壽命，溫度影響的分析，震動影響的分析，有及其重要的作用。
對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由于各單元 具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將 近似函數代入積分方程，并對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點 的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進 行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件， 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。
2.如圖1中（a）所示兩端固定的矩形梁，跨度為2a=2m，梁高為a=1m，厚度為t=0.1m，已知彈性模量為E，，在中間處受到集中力P，利用對稱性，可取梁的一半進行分析，如圖（b）的所示。試用有限元法求解此平面應力問題：（1）計算求出節點位移（2）求出單元應力。（20分）...
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