平面一般力系的平衡
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§4 平面一般力系的平衡
一、平面一般力系的平衡條件、平衡方程及其應用
平面一般力系平衡的充要條件是力系主矢FR/ 和力系對某一點的主矩m o都等于零。即：
FR/ =0， m o =0
要使FR/ =0，必須滿足： ∑F x =0 ∑Fy =0
要使m o =0，必須滿足： ∑m o（F）=0
于是，平面一般力系的平衡條件可表達為：
∑F x =0
基本形式 ∑Fy =0
∑mo（F）=0 力矩方程
平面一般力系有三個獨立方程。因此，平面一般力系平衡的充要條件又可敘述為：力系中所有各力在兩個坐標軸上的投影的代數和都等于零，而且力系中所有各力對任一點力矩的代數和也等于零。
例1：鋼筋混凝土鋼架的受力及支座情況如圖。已知F=10KN，m=15KN.m，鋼架自重不計，求支座反力。
解：1、剛架為研究對象，畫剛架的受力圖，
建立坐標軸
2、列平衡方程求解未知力
∑F x =0 F－FBX＝0
FBX＝F＝10KN
∑mA（F）=0 －F×3－m＋FBY×3＝0 FBY＝15KN（）
∑Fy =0 FA＋FBY＝0 FA＝－FBY＝－15KN（）
二、平面一般力系平衡方程的其他形式
1、二力矩式
平衡方程的基本形式并不是唯一的形式，還可以寫成其他的形式,它與基本形式的平衡方程是等效的,但往往應用起來會方便一些。
形式：三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程
條件：所選的X 軸不能與AB的連線垂直
如果力系滿足的方程,簡化結果就不可能是個合力偶,而只能是合力或平衡；若是合力則合力應通過A點,同理,力系又滿足，則此合力還應通過B點,也就是說,力系如果有合力則合力作用為AB連線,又因為力系還滿足的方程，則進一步表明力系即使有合力,這合力也只是能與X軸相垂直,但附加條件是AB連線不與OX軸垂直。這樣力系不可能存在一個以AB連線的作用線與X軸垂直的合力,也就是說,力系只能是平衡的。
2、三力矩式
條件：A,B,C三點不共線
力系因滿足式中的三個力矩平衡方程,則力系如果有合力,此合力作用線就必須通過A.B.C 三點,但此式的附加條件是A.B.C三線不共線,故此合力只能是零，力系必然平衡。
說明：
（1）三組平衡方程,每一組都是平面一般力系平衡的必要與充要條件,選用不同形式的平衡方程,有助于簡化靜力學的求解計算過程。對一個平衡的平面一般力系,只能建立三個獨立的平衡方程,因此,只能求解三個未知數。其它的平衡方程不再是獨立的。
（2）求解平面一般力系的平衡問題時,應力求在一個方程中只包含一個未知數使求解過程簡單,可靈活地選取不同的平衡方程。
（3）在計算中,通常用其他形式的平衡方程進行校核。
三、平面平行力系
各力的作用線在同一個平面內且相互平衡的力系。它是平面一般力系的一種特殊情況。
平面平行力系的平衡方程可以從平面一般力系的平衡方程導出,設有一平面平形力系，取X軸垂直于力系各力的作用線，Y軸與各力平衡,由圖可知,不論平面平衡力系是否平衡,各力在X軸的投影等于零。即為恒等式，將這一方程的基本形式除去,即平面平形力系的平衡方程為
這樣,平面平行力系平衡的充要條件為：力系中各力的代數和為零,以及各力對于力系所在平面任一點之矩的代數和為零。
根據平面一般力系平衡方程的二力矩形式可導出平面平衡力系的二力矩形式的平衡方程
其中A、B兩點的連線不與力系各力的作用線平行
平面平衡力系只有兩個獨立的平衡方程,因此只能求解兩個未知數。
解題的技巧,為避免解聯立方程,通常有以下兩種方法：
（1）選擇某坐標軸與一個或兩個未知力相垂直，使一個投影方程式出現一個未知數。
（2）將力矩方程的矩心選在未知力的作用線上或兩個（或兩個以上）未知力的交點上,使一個力矩方程式出現一個未知數。
例2： 一剛架受到q、F作用,試求A,B支座處反力。
解：
- Fｈ-q·a·a /2 +FBy·a=0
FBy = = 9KN (向上_)
q·a· -F·h - FAy·ａ=0
FAy = -Fｈ/ａ+qa/2 =-7kN(向下)
F+ FAX =0
FAX = 4KN(向左)
例3：梁AB受均布荷載、集中力、集中力偶作用，試求支座反力。
解：1、AB梁為研究對象，畫受力圖。
2、列平衡方程并求解
由（2）式得
將代入（1）式得
例4：一懸臂梁承受均布荷載q及集中荷載P, 試求插入端的反力及反力偶。
固定端支座：A端插入磚墻較深，因而梁在A端即不允許移動又不允許轉動，它的支座反力一般有限制水平移動的水平反力、限制豎向移動的豎向反力，同時還限制轉動的反力偶。
例5：懸臂剛架在BC段受到集度q = 4KN/m及集中力F=5KN的作用，求固定端支座A處的反力。
解：1、取脫離體，畫受力圖
2、列平衡方程求未知力
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