有限元法在機械設計中的應用(A4)
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- 有限元法在機械設計中的應用(A4) 有限元法的基本思想是將結構離散化，用有限個容易分析的單元來表示復雜的對象，單元之間通過有限個節點相互連接，然后根據變形協調條件綜合求解。由于單元的數目是有限的，節點的數目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM，Finite Element Method)。 有限元法是最重要的工程分析技術之一。它廣泛應用于彈塑性力學、斷裂力學、流體力學、熱傳導等領域。有限元法是60年代以來發展起來的新的數值計算方法，是計算機時代的產物。雖然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于當時計算機尚未出現，它并未受到人們的重視。隨著計算機技術的發展，有限元法在各個工程領域中不斷得到深入應用，現已遍及宇航工業、核工業、機電、化工、建筑、海洋等工業，是機械產品動、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結論：有限元法在產品結構設計中的應用，使機電產品設計產生革命性的變化，理論設計代替了經驗類比設計。目前，有限元法仍在不斷發展，理論上不斷完善，各種有限元分析程序包的功能越來越強大，使用越來越方便。 二、有限元法的孕育過程及誕生和發展 大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發明了積分法，證明了該運算具有整體對局部的可加性。雖然，積分運算與有限元技術對定義域的劃分是不同的，前者進行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現有限元技術準備好了一個理論基礎。 在牛頓之后約一百年，著名數學家高斯提出了加權余值法及線性代數方程組的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式，后者被用來求解有限元法所得出的代數方程組。在18世紀，另一位數學家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經。 在19世紀末及20世紀初，數學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用展開函數來表達其上的未知函數。1915年，數學家伽遼金提出了選擇展開函數中形函數的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數學家庫朗德第一次提出了可在定義域內分片地使用展開函數來表達其上的未知函數。這實際上就是有限元的做法。 所以，到這時為止，實現有限元技術的第二個理論基礎也已確立。 20世紀50年代，飛機設計師們發現無法用傳統的力學方法分析飛機的應力、應變等問題。波音公司的一個技術小組，首先將連續體的機翼離散為三角形板塊的集合來進行應力分析，經過一番波折后獲得前述的兩個離散的成功。20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數方程組的工作，這為實現有限元技術準備好了物質條件。1945~1955年，Argyris等人在結構矩陣分析方面取得了很大的進展。1956年，Turner、Clough等人把鋼架位移法的思路，推廣應用于彈性力學平面問題：他們把連續體劃分為三角形和矩形單元，單元中的位移函數采用近似表達式，推導單元的剛度矩陣，建立結合點位移與結合點力之間的單元剛度方程。1960年Clough首先將這種解決彈性力學的方法稱為“有限元法”。幾乎與此同時，我國的馮康也提出了類似的方法。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術從此正式誕生，并很快風靡世界。[1] 三、FEM的計算方法： FEM方法作為一種技術更多的與FEM軟件的發展緊密的結合起來。某種主流軟件的FEM方法必然會一直朝該FEM方法的方向發展，只有當新的FEM方法比現有的FEM方法更加優越時才會放棄現有的FEM方法，從而使FEM方法有較大的發展。因此目前的FEM方法仍然將統治現在的FEM世界。 當今主流的FEM軟件有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產品。這些軟件所代表的方法有： COSMOS軟件使用的快速有限元算法（FFE）。在傳統有限元分析的數值計算方法之中，有直接計算法（Direct Solver）與迭代法（Iterative）兩種。由于在過去的經驗中，迭代法一直無法直接而有效的保證數值計算的收斂性，快速有限元法是一種可以保證收斂性的迭代法，該方法計算速度也很快。 MARC軟件以Lagrange算法為主，兼有ALE和Euler算法；以顯式求解為主，兼有隱式求解功能。 ANSYS軟件有直接求解器，如波前求解器，可計算出線性聯立方程組的精確解。ANSYS程序還提供了一個有效的稀疏矩陣求解器，它既可用于線性分析，也可用于非線性分析。即要求求解精度又要求求解時間的靜態及瞬態分析中，該求解器可代替迭代求解器。稀疏矩陣求解器只能用于真正的對稱矩陣，與波前及其它直接求解器相比，稀疏矩陣求解器能顯著加速求解速度。
四、其他求解方法： 顯式/隱式有限元法：無需對剛度矩陣求逆，只需對質量矩陣求逆，而質量矩陣往往可以簡化為對角陣;沒有增量步內迭代收斂問題，可以一直計算下去。隱式計算具有時間步長增量較大、每個荷載步都能控制收斂，避免誤差累積、存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規模增大而成超線性增長的特點。相對與隱式計算顯示計算具有時間步長很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規�；緸榫�性增長的特點。這種計算方法的代表軟件有ABQUS。 離散單元法：離散單元法也被稱為散體單元法，最早是1971年由Cundall提出的一種不連續數值方法模型，這種方法的優點是適用于模擬節理系統或離散顆粒組合體在準靜態或動態條件下的變形過程。離散單元法不是建立在最小勢能變分原理上，而是建立在最基本的牛頓第二運動定律上。它以每個剛體的運動方程為基礎，建立描述整個破壞過程的顯式方程組后，通過動力松弛迭代求解。 ...
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